Termo geral e soma
Duas fórmulas resolvem, de uma vez, o que seria trabalhoso somar passo a passo: uma calcula qualquer termo da PA diretamente, e a outra soma quantos termos quiser sem precisar adicionar um por um.
Duas fórmulas, dois atalhos
O termo geral de uma PA calcula diretamente o valor de qualquer termo, sem precisar listar todos os anteriores: aₙ = a₁ + (n-1)·r, em que a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo desejado.
A soma dos n primeiros termos também tem um atalho: Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2. A ideia por trás dessa fórmula é que, numa PA, a média entre o primeiro e o último termo é igual à média de todos os termos — então basta multiplicar essa média pela quantidade de termos.
Aplicando as duas fórmulas
Numa PA com a₁ = 3 e r = 4, calcular o 10º termo e a soma dos 10 primeiros termos fica direto.
| Cálculo | Substituição | Resultado |
|---|---|---|
| a₁₀ | 3 + (10-1)·4 | 39 |
| S₁₀ | 10·(3+39)/2 | 210 |
Termo geral: a₁₀ = 3 + 9×4 = 3 + 36 = 39.
Soma: S₁₀ = 10 × (3+39)/2 = 10 × 21 = 210.
Sem essas fórmulas, seria preciso escrever e somar os 10 termos um por um: 3+7+11+...+39.
Onde termo geral e soma trabalham
Sempre que é preciso saber um valor distante numa sequência regular, ou somar muitos termos de uma vez, essas fórmulas economizam trabalho.
Três perguntas, correção na hora
Para levar adiante
Desafio
Numa PA com a₁ = 5 e r = 2, calcule o 20º termo e a soma dos 20 primeiros termos, usando as duas fórmulas desta aula.
Próxima aula
O termo geral da PA esconde algo familiar: reorganizando a fórmula, ela aparece exatamente no formato de uma função afim. A próxima aula fecha essa conexão.