Modelando com função quadrática
Quando a grandeza depende do produto de duas coisas que variam juntas, ou quando há um ponto de máximo ou de mínimo a encontrar, o modelo deixa de ser reta e vira parábola. É a função quadrática a serviço de um problema.
Quando a variação não é constante
Se a cada passo o valor muda sempre igual, o modelo é afim. Mas há situações em que a variação acelera: a área de um quadrado quando o lado cresce, a altura de um objeto lançado, a receita quando o preço sobe e a quantidade vendida cai.
Nesses casos o modelo é uma função quadrática, f(x) = ax² + bx + c, e seu gráfico é uma parábola. O grande atrativo é o vértice: ele entrega o ponto de máximo ou de mínimo, que costuma ser exatamente a resposta procurada.
A maior área com a mesma cerca
Com 20 metros de cerca para um curral retangular, qual retângulo tem a maior área? Se um lado mede x, o outro mede 10 - x, e a área é A(x) = x·(10 - x) = -x² + 10x.
Modelo: A(x) = -x² + 10x, uma parábola de boca para baixo (a = -1).
Vértice: x = -b/(2a) = -10/(2·-1) = 5. O lado ideal é 5 m.
Área máxima: A(5) = -25 + 50 = 25 m². O curral de maior área é o quadrado de 5 por 5.
Traduzir, resolver, interpretar
Modelar com quadrática é um trajeto de ida e volta entre a situação e a matemática.
Três perguntas, correção na hora
Para levar adiante
Desafio
Uma loja vende x camisetas por dia e o lucro é modelado por L(x) = -x² + 30x - 50. Encontre a quantidade que dá lucro máximo e diga qual é esse lucro.
Próxima aula
Alguns problemas trazem duas condições ao mesmo tempo e duas incógnitas. Para resolvê-los, entra em cena o sistema de equações lineares.