PA e função afim
O termo geral de uma PA e a fórmula de uma função afim são, no fundo, a mesma coisa escrita de formas diferentes. Reorganizar aₙ = a₁ + (n-1)·r revela um y = ax + b escondido, com n no lugar de x.
Uma PA é uma função afim discreta
Reescrevendo o termo geral aₙ = a₁ + (n-1)·r com a multiplicação distribuída: aₙ = r·n + (a₁ - r). Essa expressão tem exatamente a forma y = ax + b, em que y é aₙ, x é n, o coeficiente angular a é a razão r, e o coeficiente linear b é (a₁ - r).
A diferença é que, numa função afim "comum", x pode ser qualquer número real. Numa PA, n só pode ser 1, 2, 3, 4... (as posições dos termos). Por isso uma PA é chamada de função afim discreta: os mesmos pontos de uma reta, mas só nos valores inteiros e positivos de x.
Transformando a PA numa fórmula afim
Para a PA com a₁ = 3 e r = 4 (a mesma da aula anterior), a conversão para y = ax + b fica direta.
| n | aₙ = a₁+(n-1)r | aₙ = 4n - 1 |
|---|---|---|
| 1 | 3 + 0×4 = 3 | 4(1) - 1 = 3 |
| 2 | 3 + 1×4 = 7 | 4(2) - 1 = 7 |
| 3 | 3 + 2×4 = 11 | 4(3) - 1 = 11 |
Conversão: aₙ = 3 + (n-1)×4 = 4n - 4 + 3 = 4n - 1, então a = 4 e b = -1.
As duas fórmulas dão exatamente os mesmos valores — são a mesma reta, só que a PA "acende" apenas nos pontos onde n é inteiro positivo.
Onde essa conexão trabalha
Reconhecer uma PA como função afim permite usar tudo o que já foi aprendido sobre gráficos e coeficientes para entender sequências numéricas.
Três perguntas, correção na hora
Para levar adiante
Desafio
Para a PA com a₁ = 10 e r = -2, reescreva o termo geral no formato y = ax + b (com y = aₙ e x = n), identificando os coeficientes a e b.
Próxima aula
A trilha muda de assunto: da matemática pura para a matemática financeira, começando pelo cálculo de juros simples.