Homotetias
A homotetia é a transformação que amplia ou reduz uma figura a partir de um ponto, mantendo a forma intacta. É a matemática por trás do zoom, da fotocópia ampliada e da maquete que vira prédio.
Ampliar ou reduzir a partir de um ponto
A homotetia transforma uma figura em outra parecida, maior ou menor, esticando-a a partir de um ponto fixo chamado centro. Cada ponto da figura se afasta (ou se aproxima) do centro na mesma proporção, dada por um número, a razão k.
Diferente das isometrias, a homotetia muda o tamanho. Mas preserva a forma: os ângulos ficam iguais e os lados crescem todos na mesma proporção. Por isso a figura original e a transformada são semelhantes.
Raios que partem do centro
Trace retas do centro por cada vértice da figura. A figura ampliada tem seus vértices sobre essas mesmas retas, mais longe do centro, na proporção k.
Centro O: o ponto fixo de onde tudo se amplia. Ele não se move.
Razão k: k > 1 amplia, 0 < k < 1 reduz. Com k = 2, cada distância ao centro dobra.
Como é uma semelhança de razão k, os comprimentos ficam multiplicados por k e as áreas por k².
Onde a homotetia trabalha
Toda vez que algo é ampliado ou reduzido mantendo as proporções, há uma homotetia por trás.
Três perguntas, correção na hora
Para levar adiante
Desafio
Um triângulo tem lados 3, 4 e 5 cm. Aplique uma homotetia de razão k = 2 a partir de um centro. Quais são os lados do novo triângulo e quantas vezes maior ficou a área?
Próxima aula
Combinando isometrias e homotetias surgem os padrões: mosaicos, simetrias e as figuras que se repetem em toda escala, os fractais. É o fecho da trilha.